El área entre dos círculos

Trazo decisivo

Enunciado

Como en casi todos los problemas de geometría, falta uno o varios segmentos que aportan una información vital para la solución del problema. En este caso, hemos trazado un radio de la circunferencia menor, que va desde el centro (claro) de la circunferencia menor hasta el punto donde el diámetro horizontal de la mayor la corta. Observa que forma un triángulo rectángulo (pintado en verde en el dibujo) con el trozo del diámetro horizontal y el del vertical.

Pongamos nombre a los radios. Supongamos que x es el de la circunferencia menor e y el de la mayor. Viendo la diferencia vertical, está claro que 2y - 2x = 36, o lo que es lo mismo, y - x = 18. Veamos lo que miden los tres lados del triángulo rectángulo en función de x y de y. La hipotenusa es claramente x, el cateto horizontal mide y - 20 y el cateto vertical, y - x.

Como sabemos que y = 18 + x, probemos a substituir. La hipotenusa mide x, el cateto horizontal, x - 2 y el vertical 18. Aplicando el teorema de pitágoras, x² = 18² + (x - 2)². Desarrollando esta igualdad, llegamos a que x² = 324 + x² - 4x + 4, es decir, que 0 = 328 - 4x, de donde x = 328/4 = 82 y por tanto y = 100.

Una vez conocemos los radios, el área es fácil, pues basta restar las áreas de ambos círculos, pi por el radio al cuadrado, o lo que es lo mismo, pi por la diferencia de los cuadrados de los radios. Es sencillo calcular esta diferencia, pues y² - x² = (y + x)(y - x) = 182*18 = 3276, es decir el resultado es 3276 por pi (en metros cuadrados).