Entrega de diplomas

Enunciado

La idea para resolver este problema consiste en tratar de encontrar al principio un número que cumpla alguna de las condiciones, e ir después exigiéndole más.

Un número que al dividir entre dos da un resto de 1, es un número impar.

Fácilmente comprobamos que si queremos que además su resto al dividirlo entre 3 dé 1, debe ser de la forma 7, 13, 19, 25,... El hecho de que vayan de 6 en 6 es crucial. Debemos pensar que, si quitásemos un único alumno, podríamos dividirlo de forma exacta entre 2 y entre 3, es decir, entre 6. Eso significa que los números que cumplen esta propiedad son los posteriores a los múltiplos de 6.

Para que suceda lo mismo al agrupar de cuatro en cuatro, debemos buscar los posteriores de los múltiplos de 12 (13, 25, 37, etc.).

Es evidente que sucederá lo mismo automáticamente al hacer grupos de 6 (sobrará uno para hacer grupos completos), pero si queremos que también suceda al agrupar de cinco en cinco, buscaremos los números posteriores a los múltiplos de 60, ya que es el múltiplo más pequeño de 12 y 5.

Así, tendremos que el número buscado pertenece a la familia 61, 121, 181, y demás. Pero queremos que sea múltiplo de 7, para que sí se puedan agrupar de 7 en 7.

Para esto no hay otro sistema sencillo que el ensayo de todos los números para ver cuál es el que nos interesa (siempre que quede por debajo de 400).

El único número que cumple esta condición es el 301, como ha escrito mucha gente en los comentarios.