jueves, 24 de enero de 2013

Raíces que suman lo mismo

Enunciado

Partimos de que conoces las relaciones entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces, que en el caso de los de tercer grado, supone que si las raíces son s, t y u, y los coeficientes son 1, a, b, y c, sería que -c = stu, b = st + su + tu, y que -a = s + t + u.

Si no conoces estas relaciones, puedes deducirlas de la igualdad x3 + ax2 + bx + c = (x - s)*(x - t)*(x - u), desarrollando el producto.

En realidad, gracias a estas relaciones puede que no tengamos que solucionar la ecuación, algunas de cuyas raíces son complejas, para probar esa extraordinaria relación.

En nuestro caso, tenemos que -2 = s + t + u, 3 = st + su + tu y -4 = stu.

La suma de las primeras potencias es, pues, -2.

Probemos a calcular la suma de las segundas potencias, s2 + t2 + u2. Una forma de usar las relaciones anteriores en una igualdad es elevar al cuadrado la expresión s + t + u, que ya sabemos que vale -2. Así, (-2)2 = 4 = (s + t + u)2, y desarrollando este polinomio, tenemos que 4 = s2 + t2 + u2 + 2st + 2su + 2tu, de donde se deduce que 4 = s2 + t2 + u2 + 2(st + su + tu). Como hemos visto, esta última expresión entre paréntesis es el segundo coeficiente, 3, por lo que 4 = s2 + t2 + u2 + 6, por lo que -2 = s2 + t2 + u2, como queríamos demostrar.

La suma de las terceras potencias es mucho más compleja, podemos utilizar la expresión (s + t + u)3, que tras un duro trabajo conseguimos convertir en s3 + t3 + u3 + 6stu + 3s2t + 3s2u + 3t2s + 3t2u + 3u2s + 3u2t. Si te fijas, la expresión es muy simétrica, pero, excepto el primer grupo de tres sumandos, que son los que nos interesan, los demás no parecen cuadrar con las expresiones que teníamos antes, que son st + su + tu, stu y s + t + u.

En realidad, podemos transformarla un poco, de forma que aparezca un factor común s en tres sumandos, y podamos obtener una expresión st + su + tu, otro factor t con idéntica misión y otro u.

Veamos el procedimiento: s3 + t3 + u3 + 6stu + 3s2t + 3s2u + 3t2s + 3t2u + 3u2s + 3u2t = s3 + t3 + u3 + 3s2t + 3s2u + 3stu + 3t2s + 3t2u + 3stu + 3u2s + 3u2t + 3stu - 3stu = s3 + t3 + u3 + 3s(st + su + tu) + 3t(ts + tu + su) + 3u(us + ut + st) - 3stu = s3 + t3 + u3 + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu.

Observa la estrategia de repartir el término 6stu en tres grupos, y restar después 3stu, ya que nos hacen falta en realidad 9. El procedimiento exige extraer factor común dos veces, sólo de los términos que nos interesan.

De esta retorcida manera, tenemos que -8 = -23 = (s + t + u)3 = s3 + t3 + u3 + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu = s3 + t3 + u3 + 3(3)(-2) - 3(-4). De la igualdad -8 = s3 + t3 + u3 -18 + 12 concluimos que -2 = s3 + t3 + u3, que era lo que queríamos demostrar.

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