sábado, 2 de marzo de 2013

Áreas y triángulos

Enunciado

Pablo Sussi nos comenta una solución que es muy fácil de seguir. Se trata de dividir el problema en dos, trazando una recta que introduzca un triángulo intermedio. Como él propone, vamos a dibujar una recta que una un vértice del triángulo grande con uno del pequeño. Bien podría ser la otra posibilidad, y el razonamiento habría sido análogo, pero elegimos la del dibujo de la derecha.

Así, el problema lo razonaremos en dos etapas. Primero, trataremos de calcular el área del triángulo intermedio, cuya base será 5/2 de la base del pequeño, y la altura será la misma, ya que comparte vértice superior. Así, tendremos que el área del triángulo intermedio será de 20 u2.

Ahora, para comparar este triángulo intermedio con el grande, giraremos mentalmente el dibujo, hasta lograr que la base sea el lado que antes ocupaba el lugar izquierdo. Ahora, el triángulo intermedio y el mayor tendrán la altura común, y la base del mayor será 3/2 de la de el menor, por lo que su área será 3/2 de 20 = 30 u2, como afirma Pablo.

Otra manera de razonarlo, más algebraica, sin hacer ningún trazo, es observar que el área del triángulo se calcula multiplicando la base por la altura, y debido a lo que nos dice el problema, la base del triángulo mayor es 5/2 de la del pequeño y su altura, que aumenta proporcionalmente al tamaño de su lado izquierdo, es 3/2 de la del pequeño. Por eso su área será ag = (bg*hg)/2 = ((5/2)*bp*(3/2)*hp)/2 = (5/2)*(3/2)*(bp*hp)/2 = (15/4)*ap = (15/4)*8 = 30 u2, donde b, h y a representan la base, la altura y el área, respectivamente, y la g y la p representan el triángulo pequeño y el grande.

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