En la peluquería

Enunciado

Supongo que todo el que haya leído este enunciado y haya cursado un nivel algo más alto, reconocerá el típico problema "de mezclas" que se resuelve usando álgebra.

Si queremos plantearlo de una manera creativa sin hacer uso del álgebra, podemos utilizar un recurso muy sencillo. Por ejemplo, probar a usar una cantidad conocida del primer producto, en el que podemos calcular mediante proporciones cuánto principio activo hay, y reemplazar una unidad por el segundo producto, para ver cuánto principio activo queda (dejando sin cambios la cantidad total). Si repetimos el procedimiento un cierto número de veces, obtendremos el resultado buscado.

Veamoslo más detalladamente. Si partimos, por ejemplo, de 100 litros del primer producto, contendrá 30 litros de principio activo. Ahora, si eliminamos un litro, quedan 99 litros (con 29,7 litros de principio activo), y si añadimos 1 litro del otro producto, estamos incorporando sólo 0,03 litros de principio activo, es decir, tendremos ahora 100 litros, pero tan sólo 29,73 litros de principio activo, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo por cada litro que cambiemos. Puedes confirmarlo cambiando una cantidad cualquiera (por ejemplo, si cambias 5 de los 100 litros, quedarán 95 litros de producto concentrado y 5 del otro, lo que supone 95*0,3 + 5*0,03 = 28,5 + 0,15 = 28,65, que es lo mismo que 30 - 5*0,27 = 30 - 1,35 = 28,65). Ahora, para conseguir que sólo quede 12 litros de principio activo, debemos quitar de los 30 litros nada menos que 18. Si intentamos quitarlos en grupos de 0,27, deberemos dividir, y no sale exacto, es decir, sale que hemos de cambiar 66,67 litros aproximadamente, y por tanto esa debería ser la proporción, 33,33 litros de cada 100 del producto más puro y 66,67 del más diluido para la mezcla buscada.

Claro, que al fin y al cabo, si buscamos números más exactos, debemos fijarnos en que hemos dividido 18 entre 0,27, es decir, 1800 entre 27. Y no es exacto porque 27 tiene un factor 3 de más, es decir, que si tuviésemos una cantidad de litros múltiplo de 3, nos habría dado exacto. Podemos repetir el razonamiento con una cantidad múltiplo de 3 para conseguirlo.

Supongamos que tenemos 3 litros del producto concentrado. Tendremos entonces 0,90 litros de principio activo. Si cambiamos un litro por el producto segundo, tendremos 2*0,30 + 1*0,03 = 0,60 + 0,03 = 0,63, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo. Como queremos alcanzar 3*0,12 = 0,36 litros, debemos perder 0,90 - 0,36 = 0,54, es decir, el doble de 0,27, es decir, que basta cambiar 2 litros del producto más concentrado por el otro.

Así que una proporción precisa sería mezclar un litro del primer producto con dos del segundo.