Desigualdad con dos variables

Enunciado

En este tipo de problemas, la idea es tratar la expresión comparada con 0, para tratar de delimitar si hay o no algún cambio de signo.

La idea más acertada sería transformarla en la expresión 0 ≤ -x³ - xy² - 2xy + 2x²y + x² + x + y y a partir de aquí, factorizar la expresión para transformarla en alguna expresión claramente mayor que 0.

Para probar diferentes ideas, podemos tratar de sustituir una de las dos variables (la x o la y) por números válidos (por ejemplo, por 0, 1, 0.5, 0.2), para ver la expresión del polinomio que se presenta, de forma que tratemos de ver un resultado común, o al menos una idea general.

En este caso, parece que eso no nos da una idea que nos permita abordar el caso general.

Otra iniciativa que traté de hacer, de forma infructuosa, fue substituir las variables por t = 1 - x, que es positiva, o por s = 1 - y, que también lo es, y que estarían situadas exactamente en el mismo intervalo. Sin embargo, las expresiones que obtuve no me ofrecieron una idea, ni un factor común.

Una tercera vía fue intentar manipular los términos que tenían un coeficiente 2 para tratar de convertirlos en parte del cuadrado de una suma. Este trabajo sí que condujo a resultados claros. Por ejemplo, viendo que aparece 2x²y, traté de juntarlo con - x³ y con -xy², de forma que sacando factor común - x, obtuviese el cuadrado de una suma. En efecto, -x³ - xy² - 2xy + 2x²y + x² + x + y = -x(x² - 2xy + y²) + x² - 2xy + x + y = -x(x - y)² + x² - 2xy + x + y.

Ahora, aparecen también en la expresión dos de los términos de (x - y)², sólo falta el tercero, que podemos añadirlo por el sencillo método de sumar y restarlo, sin que varíe la expresión total, así, -x(x - y)² + x² - 2xy + x + y = -x(x - y)² + x² - 2xy + y² - y² + x + y = -x(x - y)² + (x - y)² - y² + x + y.

Como aparece dos veces la misma expresión, podemos extraerla factor común, quedando -x(x - y)² + (x - y)² - y² + x + y = (-x + 1)(x - y)² - y² + x + y.

Por último, reordenando algunos términos, dejamos (-x + 1)(x - y)² - y² + x + y = (1 - x)(x - y)² + x + y(1 - y).

Ahora, esta expresión, que es equivalente a la primera, es claramente positiva, pues es suma de tres números que son positivos, por ser estos números productos de números positivos, ya que x e y tienen un valor entre 0 y 1, por lo que x, y, 1 - y y 1 - x son valores positivos, y el factor (x - y) está elevado al cuadrado, con lo que también es positivo. Eso significa que la suma de esos tres términos es un número positivo, y por lo tanto la desigualdad inicial es cierta, siguiendo la transformación a la inversa.