martes, 17 de febrero de 2015

Cuatro puntos alineados

Enunciado

Como el objetivo es demostrar que un ángulo es doble que otro, lo primero que viene a la cabeza es pensar que debo trazar un ángulo central y un arco capaz, de forma que automáticamente el ángulo central quede el que debe ser doble y el que está sobre el arco, su mitad.

Hay otros métodos, por ejemplo, razonar con coordenadas, tratando de calcular alguna razón trigonométrica, por ejemplo, mediante el producto escalar, que nos permite calcular el coseno, y tratar de establecer alguna relación entre ángulos, y en las soluciones oficiales veréis otras variantes, pero lo que voy a desarrollar aquí será el método del arco capaz.

Cuando hacemos el dibujo correspondiente al enunciado, observamos que los dos ángulos que tratamos de comparar se apoyan en el mismo punto, en E, de forma que mi primera idea fue separarlos. ¿qué mejor que buscar otro punto F, que ocupase la misma posición respecto a A y B que E respecto a C y D?

Es decir, trasladamos el punto E mediante un vector paralelo a la recta en la que están los puntos A, B, C y D, y que mida exactamente la distancia entre C y A. En ese punto F se forma exactamente el mismo ángulo AFB que el ángulo BEC que se forma en E. Pero ahora, comparte extremos con el segmento AB, igual que el otro ángulo AEB.

Trazamos entonces un arco que se centre en F y que tenga de extremos el segmento AB, así el ángulo AFB es un ángulo central de ese arco.

Vamos ahora a tratar de demostrar el enunciado.

Supongamos que AC = EC. En ese caso, EC = ED = FA = FB = radio del arco, y como la distancia FE es la misma que AC, tenemos que FE = radio del arco, por lo que en ese caso E está sobre el arco, de donde el ángulo AEB es la mitad que el ángulo central, como queríamos demostrar.

Supongamos ahora que el ángulo AFB es doble que AEB, entonces eso significa que E está sobre el arco que hemos trazado, luego EF = radio del arco. Pero EF recordemos que, por construcción, vale lo mismo que AC, y EC vale lo mismo que FA, que también es un radio del arco, de forma que AC = EC, como queríamos demostrar.

De forma que tenemos, como queríamos, que AC = EC si y sólo si el ángulo AFB es doble que AEB.