jueves, 12 de febrero de 2015

Torneo de baloncesto

Enunciado

Lo primero que hay que determinar es la cantidad de equipos que se enfrentan en esta liga.

Pensemos que son n equipos. Si tenemos en cuenta que cada uno de ellos se enfrenta con cada uno de los demás, cada equipo juega 2n - 2 partidos. Como tienen que jugar todos, el número total de partidos sería n*(2n - 2)/2 = n*(n - 1). Observa que dividimos por 2 porque cada partido lo juegan 2, es decir, si multiplicamos sólo, contamos cada partido 2 veces.

Ahora, según el enunciado, en cada partido se reparten 3 puntos (1 para el perdedor y 2 para el ganador). Por lo tanto, El total de puntos sería 3*n*(n - 1) y el máximo de puntos que puede lograr un equipo, ganando todos los partidos, sería 4n - 4.

Con ese conocimiento, hay que ver qué valor de n ocasiona que el total de puntos sea superior a 2015, pero no demasiado superior.

El método más rápido sería un tanteo. Si n = 26, 3n*(n - 1) = 1950, por lo que debe ser superior a 26, pero n = 28 ocasiona 2268, que deja un total de puntos para el primer clasificado de 2268 - 2015 = 253, que es muy superior al total de puntos que puede sacar un equipo en una liga de 28, que es 108. Luego el total de equipos de la liga es exactamente 27.

Ahora, eso significa que el total de puntos es 2106, lo que hace que el total de puntos del primero sea 2106 - 2015 = 91.

Sabiendo que tiene 91 puntos, podemos restar la cantidad de partidos jugados, 91 - 52 = 39, es decir, debe haber ganado exactamente 39 partidos. Restamos porque si observas, en cada partido el equipo gana un punto seguro, y sólo obtiene otro si gana. Por tanto, restando el número de partidos se obtiene el número de victorias. También se puede hacer con un sistema, pero la solución me pareció menos interesante.

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