domingo, 15 de febrero de 2015

Un producto de números enteros

Enunciado

Como se trata de números enteros, trataremos de fijarnos en una propiedad que despeje uno en función de otro y a partir de ahí aplicamos propiedades de divisibilidad, por ejemplo.

Ya que tenemos despejada la primera ecuación, sabemos que z = x + 2y, así que vamos a sustituir en la segunda, teniendo que x2 - 4y2 + (x + 2y)2 = 310.

Eliminando paréntesis, esto significa que x2 - 4y2 + x2 + 4xy + 4y2 = 310.

Agrupando términos, esto significa que 2x2 + 4xy = 310.

Para simplificar, dividimos por 2, dejando la expresión x2 + 2xy = 155.

A partir de este punto, hay varios razonamientos posibles. El más directo es convertir en un producto esta expresión, x(x + 2y) = 155 (observa que esta igualdad es equivalente a la que proponen en el comentario dejado en el enunciado, si cambiamos x + 2y por z, el razonamiento se simplifica algo).

Ahora, puesto que 155 = 5*31, x sólo puede valer 1, 5, 31 ó 155, pero hay que observar que tanto x como y deben ser positivos, así que x + 2y debe ser mayor que x, por lo que en realidad sólo son válidas las posibilidades x = 1 y x = 5.

En el primer caso, x = 1 y por tanto x + 2y = 155, de donde 2y = 154, por lo que y = 77. La última variable, z = x + 2y = 155, por lo que xyz = 11935.

En el segundo, x = 5, por lo que x + 2y = 31, y por tanto 2y = 26, y así y = 13. Como z = x + 2y = 31, xyz = 2015.

El problema habría tenido algo más de dificultad si hubiesen permitido valores negativos, ya que el número de soluciones habría sido algo mayor.

Otro enfoque sería despejar y en la fórmula, y = (155 - x2)/x. Puesto que tanto x como y han de ser positivos, 155 debe ser mayor que x2, por lo que basta tantear entre el 0 y el 12 para encontrar las dos soluciones válidas, aunque no pensemos en divisibilidad.