sábado, 21 de febrero de 2015

Un sistema circular con tres variables

Enunciado

Este tipo de sistemas están formados por ecuaciones en varias variables, que tienen una característica muy especial: en realidad se trata de una única ecuación, en la que el papel de las variable se intercambia de alguna forma.

Las soluciones, en el caso en que las incógnitas sean números reales, deben valer lo mismo y la demostración de que así es suele hacerse siempre de forma muy similar.

Supongamos que tenemos una solución en la que los valores x, y, z no son iguales los tres. En ese caso, vamos a trabajar suponiendo que x ≤ y ≤ z, con alguna de las desigualdades estricta, o bien y ≤ x ≤ z. Cualquier otro orden sería equivalente, cambiando los nombres de las variables y el orden de las ecuaciones.

En el primer caso, veamos que se llega a una contradicción. Puesto que las variables son positivas, y se da que x ≤ y ≤ z, entonces x + 1 ≤ y + 1 ≤ z + 1, por lo que √(x + 1) ≤ √(y + 1) ≤ √(z + 1) y también 2x√(x + 1) ≤ 2y√(y + 1) ≤ 2z√(z + 1). Sin embargo, debido a las ecuaciones, eso significa que 1 + y(y + 1) ≤ 1 + z(z + 1) ≤ 1 + x(x + 1), por lo que y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1). Sin embargo, de las desigualdades anteriores, se deduce que x(x + 1) ≤ y(y + 1) ≤ z(z + 1) ≤ x(x + 1), pero eso es imposible, puesto que alguna de las desigualdades es estricta.

En el segundo caso, se deduce una contradicción similar, empleando el mismo sistema.

Ahora que sabemos que las tres variables son iguales, el sistema se reduce a una igualdad de la forma 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1). Para resolver esta ecuación, no hay un método sencillo, pero hay dos aproximaciones interesantes.

La primera de ellas, hace uso de los métodos de eliminación de raíces que se estudian en educación secundaria. Elevando ambos extremos al cuadrado, tenemos que 4x2(x + 1) = (1 + x(x + 1))2. Es decir, 4x2(x + 1) = 1 + 2x(x + 1) +x2*(x + 1)2, y quitando paréntesis, 4x3 + 4x2 = 1 + 2x2 + 2x +x2*(x2 + 2x + 1) = 1 + 2x2 + 2x + x4 + 2x3 + x2. Pasando todos los términos al mismo lado , tenemos que 0 = - 4x3 - 4x2 + 1 + 2x2 + 2x + x4 + 2x3 + x2, por lo que 0 = x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1.

Esta ecuación de cuarto grado resiste todos los intentos de factorización por el método de Ruffini, por lo que no parece que sea abordable por los métodos convencionales, y tampoco es bicuadrada. Sin embargo es (casi) simétrica, y eso ayuda a hacer un cambio de variable muy original. En efecto, puesto que x no es cero, podemos dividir por x al cuadrado, y es equivalente a 0 = x2 - 2x - 1 + 2/x + 1/x2, que se reagrupa en 0 = x2 + 1/x2 - 2(x - 1/x) - 1.

Ahora, haciendo t = x - 1/x, tenemos que t2 = x2 - 2 + 1/x2, por lo que t2 + 2 = x2 + 1/x2. La igualdad queda ahora como 0 = t2 + 2 - 2t - 1, por o que se convierte en una ecuación de segundo grado, es decir, 0 = t2 - 2t + 1, y se tiene que t = 1 es la única solución. Así que 1 = x - 1/x, de donde x = x2 - 1 y por tanto 0 = x2 - x - 1, lo que nos da una única solución positiva (recuerda que la x debe serlo) x = (1 + √5)/2, que es el número áureo. Así, la única solución es la tripleta (x, y, z) = ((1 + √5)/2, (1 + √5)/2, (1 + √5)/2).

La otra aproximación es considerar la igualdad 2x√(x + 1) = 1 + x(x + 1) como una igualdad en la que aparezca la media geométrica y la aritmética. Transformando esta expresión en 2√(x2(x + 1)) = 1 + x2 + x, y después en √(x2(x + 1)) = (x2 + x + 1)/2, se ve claramente que en un lado de la igualdad tenemos la media geométrica de x2 y x + 1, y en el otro la media aritmética de los mismos números.

Puesto que ambos son números positivos, la desigualdad entre medias nos impone que sólo se puede alcanzar esta equivalencia si ambos números son iguales, de donde x2 = x + 1, lo que hace una ecuación de segundo grado de donde se obtiene la misma solución que en la otra aproximación.